Блог

Aug 13, 2023

Математическая «теорема о волосатом мяче» показывает, почему на Земле всегда есть хотя бы одно место, где не дует ветер

Вот что самая сложная математическая задача может научить нас о ветре, антеннах и ядерном синтезе. Вы, возможно, удивитесь, узнав, что невозможно расчесать волосы кокоса, не создав при этом

Вот что самая сложная математическая задача может научить нас о ветре, антеннах и ядерном синтезе.

Вы можете быть удивлены, узнав, что невозможно расчесать волосы кокоса, не создав при этом хохолок. Возможно, еще более удивительным является то, что это глупое утверждение с еще более глупым названием «теорема о волосатом шаре» является гордым открытием из раздела математики, называемого топологией. Если отбросить детский юмор, эта теорема имеет далеко идущие последствия в метеорологии, радиопередаче и ядерной энергетике.

Здесь «волосик» может означать либо лысину, либо торчащий вверх пучок волос, как тот, который носит персонаж Люцерна в «Маленьких негодяях». Конечно, математики не ссылаются на кокосы или вихри при формулировании проблемы. Говоря более техническим языком, представьте кокос как сферу, а волосы как векторы. Вектор, часто изображаемый в виде стрелки, — это просто нечто, имеющее величину (или длину) и направление. Если расчесать волосы по бокам кокоса, получится эквивалент касательных векторов — тех, которые касаются сферы ровно в одной точке по ее длине. Кроме того, нам нужна гладкая расческа, чтобы волосы нигде не делились на пробор. Другими словами, расположение векторов на сфере должно быть непрерывным, то есть близлежащие волоски должны менять направление лишь постепенно, а не резко. Если мы объединим эти критерии, теорема гласит, что при любой попытке присвоить вектора каждой точке сферы обязательно произойдет что-то некрасивое: будет разрыв (часть), вектор нулевой длины (лысый пятно) или вектор, который не касается сферы (Люцерна). На жаргоне: непрерывное неисчезающее касательное векторное поле на сфере существовать не может.

Это утверждение распространяется на всевозможные пушистые фигурки. В области топологии математики изучают формы так же, как в геометрии, но полагают, что эти формы сделаны из вечно эластичной резины. Хотя эта резина способна принимать другие формы, она не способна разрываться, плавиться или проходить сквозь себя. Если одну форму можно плавно деформировать в другую, не делая этих действий, то с точки зрения топологов эти формы эквивалентны. Это означает, что теорема о волосатом мяче автоматически применима к волосатым кубам, волосатым чучелам животных и волосатым бейсбольным битам, которые топологически эквивалентны сферам. (Вы можете слепить их всех из шарика пластилина, не нарушая резиновых правил.)

Что-то, что не эквивалентно сфере, — это ваш скальп. Саму кожу головы можно расплющить и расчесать в одном направлении, как волокна ворсистого ковра. К сожалению, математика не может оправдать вашу головную боль. Пончики также отличаются от сфер, поэтому волосатый пончик (без сомнения, неаппетитный образ) можно гладко расчесать.

Вот любопытное следствие теоремы о волосатом шаре: на Земле всегда будет хотя бы одна точка, над поверхностью которой не дует ветер. Ветер непрерывно циркулирует вокруг планеты, а его направление и величина в каждом месте на поверхности могут быть смоделированы векторами, касательными к земному шару. (Векторные величины не обязательно должны представлять физическую длину, например длину волос.) Это соответствует предпосылкам теоремы, которая подразумевает, что порывы ветра должны где-то затихать (создавая вихрь). Вихрь может произойти в центре циклона или вихря, или это может произойти из-за того, что ветер дует прямо в небо. Этот удобный онлайн-инструмент отображает современные ветровые течения на Земле, и вы можете четко увидеть вихри вихрей.

Чтобы увидеть еще одно странное разветвление теоремы, поверните баскетбольный мяч в любую сторону. На поверхности всегда будет точка, имеющая нулевую скорость. Опять же, мы связываем касательный вектор с каждой точкой в ​​зависимости от направления и скорости в этой точке шара. Вращение — это непрерывное движение, поэтому применима теорема о волосатом мяче, гарантирующая точку вообще без скорости. При дальнейшем размышлении это может показаться очевидным. Вращающийся шар вращается вокруг невидимой оси, и точки на обоих концах этой оси не перемещаются. Что, если мы просверлим в шаре крошечное отверстие точно вдоль этой оси, чтобы удалить неподвижные точки? Тогда кажется, что каждая точка будет двигаться. Нарушает ли это теорему о волосатом мяче? Нет, потому что просверливание отверстия превратило мяч в пончик! Даже пончики с необычно длинными и узкими отверстиями нарушают правила теоремы — противоречие предотвращено.